অধ্যায়-০৪: সমস্যা সমাধান তত্ত্ব
পাঠ-৪.১: জর্জ পোলিয়া’র চার স্তরবিশিষ্ট সমাধান
১. জর্জ পোলিয়া’র গাণিতিক সমাধানের ৪টি নিয়ম কী-তা লিখুন।
২. শিক্ষক হিসেবে প্রাথমিক স্তরে গাণিতিক সমস্যা সমাধানে জর্জ পোলিয়া’র নিয়মগুলোর উপযোগিতা বিশ্লেষণ করুন।
৩. একটি উদাহরণের মাধ্যমে জর্জ পোলিয়া’র ৪টি নিয়মের ব্যাখ্যা বিশ্লষন করে লিখুন।
অথবা, রমিজ উদ্দিনের ছেলে জসীমউদ্দিন। তাদের দুইজনের বয়সের সমষ্টি ৪০ বছর। রমিজ উদ্দিনের বয়স জসীমউদ্দিনের বয়সের ৪ গুন।তাদের কার বয়স কত? জর্জ পোলিয়া’র ৪ স্তর অনুযায়ী সমস্যাটির সমাধান করুন।
৪) জর্জ পোলিয়া’র চার স্তরে কী ধরনের প্রশ্ন বা কৌশল অবলম্বন করতে পারেন তা লিখুন।
৫) পোলিয়া’র ৪ স্তর বিশিষ্ট মূলনীতির আলোকে একটি গানিতিক সমস্যা তৈরি করে স্তরগুলোর মধ্যে সমন্বয় সাধন করুন।
অথবা, জর্জ পোলিয়া’র ৪ স্তর বিশিষ্ট মূলনীতির আলোকে একটি গানিতিক সমস্যা হিসাবে ধরা যাক, একটি পিকনিকে ৩০৪ জন শিক্ষার্থী এবং তাদের সাথে ১৬ জন শিক্ষক আছেন। প্রত্যেক বাসে ৪৬ জন বসতে পারে। মোট কতটি বাস লাগবে?
অথবা, জর্জ পোলিয়া’র সমস্যা সমাধান তত্ত্বের আলোকে একটি গানিতিক সমস্যা তৈরি করুন। সমস্যাটির সমাধান প্রক্রিয়ায় এই মূলনীতির প্রয়োগ দেখান।
১. জর্জ পোলিয়া’র গাণিতিক সমাধানের ৪টি নিয়ম কী-তা লিখুন।
জর্জ পোলিয়া গাণিতিক সমস্যা সমাধানে চারটি স্তর নির্ধারণ করেছেন। এ চারটি স্তর হলো:
১. সমস্যা বুঝতে পারা (Understand the problem),
২. পরিকল্পনা প্রণয়ন করা (Devise a plan),
৩. পরিকল্পনা বাস্তবায়ন করা (Carry out the plan) ও
৪. সমস্যা সমাধান প্রক্রিয়াটি পর্যালোচনা করা (Look back on your work).
প্রথম স্তর: সমস্যা বুঝতে পারা। প্রথমত সমস্যাটি বুঝতে হবে। এতে কী চাওয়া হয়েছে তা বুঝে দেখতে হবে। বিভিন্ন শর্তের আলোকে সমস্যার ওপর মনের মাঝে একটি ছবি আঁকতে হবে।
দ্বিতীয় স্তর: সমস্যা সমাধানের জন্য একটি পরিকল্পনা প্রণয়ন করতে হবে। প্রদত্ত তথ্য বা উপাত্ত ও অজানা রাশির সম্পর্কস্থাপন করতে হবে।
ততৃীয় স্তর: পরিকল্পনা বাস্তবায়ন করা। প্রতি ধাপের মান নির্ধারণের জন্য চিন্তা করতে হবে ও পরিকল্পনা বাস্তবায়ন করতে হবে।
চতুর্থ স্তর: সমস্যা সমাধান প্রক্রিয়াটি পর্যালোচনা করা, সাদামাটা কথায় পেছন ফিরে দেখা। অর্থাৎ ফল পরীক্ষা করে দেখা।
২. শিক্ষক হিসেবে প্রাথমিক স্তরে গাণিতিক সমস্যা সমাধানে জর্জ পোলিয়া’র নিয়মগুলোর উপযোগিতা বিশ্লেষণ করুন।
অথবা, শ্রেনিকক্ষে গনিত বিষয়ে এই মূলনীতি কিভাবে কাজে লাগাবেন তার স্বপক্ষে যুক্তি দিন।
জর্জ পোলিয়া’র উক্ত নীতি বা কৌশল অনুসরণ করে সমস্যার সমাধানে যে যুক্তি অনুসরণ করা হয়েছে তা শিশুদের কাছে সহজেই বোধগম্য বলে প্রতীয়মান হবে। শিশুদের এভাবে শুধু গাণিতিক সমস্যা নয়, তাদের জীবনঘনিষ্ঠ যে কোনো সমস্যা সমাধানে এ পক্রিয়া ব্যবহার করে সমস্যা সমাধানে পারদর্শী হয়ে উঠতে পারবে। ব্যবহারিক জীবনে গাণিতিক জ্ঞান ও যুক্তি প্রয়োগ করে সমস্যা সমাধানের মাধ্যমে কাক্সিক্ষত ফললাভ করাই এ আলোচনার মূল উদ্দেশ্য।
নিম্নোক্তভাবে জর্জ পোলিয়া’র চার স্তর বিশিষ্ট সমস্যার সমাধান প্রকল্প অনুধাবন করা যেতে পারেঃ-
| জর্জ | পোলিয়া’র চার স্তর | অর্থ |
| ১ম স্তর | সমস্যাটি বুঝতে পারা | কি কি শর্ত দেয়া হয়েছে এবং কী খুঁজে পেতে হবে, তা স্পষ্ট করা। |
| ২য় স্তর | পরিকল্পনা করা | কোন প্রক্রিয়ার মাধ্যমে আমাদের সমাধানের পথ খজুঁ তে হবে, তা চিন্তা করা। প্রদত্ত শর্তগুলোকে আমরা কীভাবে ব্যবহার করবো, তার পরিকল্পনা করা। |
| ৩য় স্তর | পরিকল্পনাটি কাযর্কর করা বা এগিয়ে নিয়ে যাওয়া | এ পর্যায়ে পরিকল্পনাটি সঠিক কিনা নিশ্চিত নয়। পরিকল্পনা সঠিক কিনা, তা না জানা সত্ত্বেও উপরোক্ত পরিকল্পনা অনুসারে এগিয়ে যাওয়া। |
| ৪র্থ স্তর | সমাধান যাচাই করা বা পর্যালোচনা | সমাধানের ধাপসমুহের পুনরায় পরীক্ষা করা। সমাধানের প্রক্রিয়া এবং এর হিসাব-নিকাশ ঠিক আছে কিনা, প্রশ্ন অনুসারে উত্তর যথাযথ হয়েছে কিনা, এর কোন বিকল্প সমাধান আছে কিনা, ইত্যাদি পরীক্ষা করা। |
পরিশেষে, গাণিতিক সমস্যা সমাধানে ছোট ছোট প্রশ্নের মাধ্যমে সমস্যাটিতে কী কী তথ্য দেওয়া আছে, এখানে কী বের করতে হবে, তা কীভাবে বের করা যাবে, বিকল্প কোনো সহজতর উপায়ে সমস্যা সমাধানের পথ রয়েছে কি না, সমস্যাটির সমাধান যথাযথ হয়েছে কি না, প্রভৃতি চিন্তা করার সুযোগ প্রদানের মাধ্যমে গাণিতিক সমস্যা সমাধান করলে পরবর্তীতে শিক্ষার্থী মানসপটে এগুলো সংরক্ষণের মাধ্যমে যে কোনো কনটেক্সে গাণিতিক সমস্যা সমাধান করতে পারবে। গাণিতিক সমস্যা সমাধানের জন্য বিভিন্ন পদ্ধতির মধ্যে জর্জ পোলিয়ার পদ্ধতি একটি, কিন্তু একমাত্র পদ্ধতি নয়। সবক্ষেত্রে সকলের জন্য এটি কাযর্কর হবে এমন কোনো নিশ্চয়তা নেই। শিক্ষক পরিস্থিতি বা কনটেক্স বুঝে প্রয়োজনীয় পদ্ধতি বা কৌশল ব্যবহার করে উত্তম পাঠদান নিশ্চিত করবেন সেটাই কাম্য।
৩. একটি উদাহরণের মাধ্যমে জর্জ পোলিয়া’র ৪টি নিয়মের ব্যাখ্যা বিশ্লষন করে লিখুন।
অথবা, রমিজ উদ্দিনের ছেলে জসীমউদ্দিন। তাদের দুইজনের বয়সের সমষ্টি ৪০ বছর। রমিজ উদ্দিনের বয়স জসীমউদ্দিনের বয়সের ৪ গুন।তাদের কার বয়স কত? জর্জ পোলিয়া’র ৪ স্তর অনুযায়ী সমস্যাটির সমাধান করুন।
সমস্যাঃ রমিজ উদ্দিনের ছেলে জসীমউদ্দিন। তাদের দুইজনের বয়সের সমষ্টি ৪০ বছর। রমিজ উদ্দিনের বয়স জসীমউদ্দিনের বয়সের ৪ গুন। তাদের কার বয়স কত? জর্জ পোলিয়া’র ৪ স্তর অনুযায়ী সমস্যাটির সমাধান করুন।
জর্জ পোলিয়া’র ৪টি স্তরগুলো ধারাবাহিকভাবে অনুসরণ করে আমরা যে কোনো গাণিতিক সমস্যাকে ব্যাখ্যা ও সমাধান করতে পারি। উপযুক্ত সমস্যাটি একটু বিশ্লেষণ করে দেখি। রমিজউদ্দিনের ছেলে জসীমউদ্দিন। তাদের দুজনের বয়সের সমষ্টি ৪০ বছর। আবার, রমিজউদ্দিনের বয়স জসীমউদ্দিনের বয়সের ৪ গুন।এখন কার বয়স কত তা বের করতে হবে?
প্রথমতঃ এখানে কী কী তথ্য দেয়া আছে এবং কী বের করতে হবে তা বুঝতে চেষ্টা করা। প্রশ্নে রমিজউদ্দিন ও জসীমউদ্দিনের বয়সের সমষ্টি ৪০ বছর দেয়া আছে। আবার, রমিজউদ্দিনের বয়স জসীমউদ্দিনের বয়সের চারগুণ। এখন, কার বয়স কত তা বের করতে হবে।
দ্বিতীয়তঃ সমস্যা সমাধানকল্পে আমরা ধরে নিতে পারি যে, জসীমউদ্দিনের বয়স ১ হলে রমিজউদ্দিনের বয়স হবে ৪। সেক্ষেত্রে উভয়ের বয়সের সমষ্টি হবে ৫। এখানে আমরা সমস্যাটিকে নিম্নোক্তভাবে চিত্রের দৃশ্যমান করতে পারি। নিচের চিত্রটি গাণিতিক সমস্যা সম্পর্কে শিক্ষার্থীর বোধগম্যতার মাত্রাকে শতগুণে বৃদ্ধি করে থাকে, যা নিম্নোক্তভাবে ব্যাখ্যা করা যায়ঃ
তৃতীয়তঃ উভয়ের বয়সের সমষ্টি দেয়া আছে ৪০ বছর। অর্থাৎ, জসীমউদ্দিনের বয়স (৪০ × ৫) বছর = ৮ বছর। তাহলে জসীমউদ্দিনের বয়স ৮ বছর হলে, রমিজউদ্দিনের বয়স তার ৪ গুণ অর্থাৎ = (৮ × ৪) বছর = ৩২ বছর।
চতুর্থতঃ প্রাপ্ত ফলাফল জসীমউদ্দিনের বয়স ৮ বছর ও রমিজউদ্দিনের বয়স ৩২ বছর যোগ করলে পাওয়া যায় ৪০ বছর। সুতরাং সমস্যাটির সমাধান সঠিক কিনা তা যাচাই করে দেখা হলো।
৪) জর্জ পোলিয়া’র চার স্তরে কী ধরনের প্রশ্ন বা কৌশল অবলম্বন করতে পারেন তা লিখুন।
নিম্নোক্তভাবে পোলিয়া’র চার স্তরবিশিষ্ট সমস্যা সমাধান প্রকল্প অনুধাবন করা যেতে পারে।
জর্জ পোলিয়ার চার স্তরবিশিষ্ট মুলনীতির বিস্তারিত বিবরণঃ-
প্রথম স্তরঃ
সমস্যাটি বঝুতে পারা। এ কাজটি আমাদের দেশে গণিত শ্রেণিকক্ষে সচরাচর অবহেলিত হয়। এজন্য শিক্ষক গণিত শ্রেণিকক্ষে সমস্যাটি আলোচনা করে বোঝাবার জন্য নিম্নরূপ প্রশ্ন করতে পারেন।
১) এখানে সমস্যাটিতে কী কী দেয়া আছে?
২) এখানে সমস্যাটিতে কী কী বের করতে বলা হয়েছে?
৩) আপনি কি সমস্যাটি নিজ ভাষায় ব্যাখ্যা করতে পারেন?
৪) আপনি কি সমস্যা বোঝাবার জন্য একটি ছবি বা চিত্র আঁকতে পারেন, যা সমস্যাটি আরও স্পষ্টভাবে বুঝতে সহায়তা করবে?
৫) এখানে কি যথেষ্ট তথ্য রয়েছে, যা সমস্যা সমাধান করার জন্য সহায়ক হবে?
৬) সমস্যা অনুধাবনের জন্য আপনি কি সকল শব্দের অথর্ বুঝেছেন?
৭) আপনি কি মনে করেন যে, কিছু প্রশ্ন জিজ্ঞেস করলে সমস্যা সমাধান আপনার জন্য সহায়ক হবে?
৮) এখানে এমন কোন তথ্য প্রদান করা হয়েছে কি, যা সমস্যা সমাধানে প্রয়োজন নেই?
৯) ————- ইত্যাদি।
শিক্ষক শিক্ষার্থীদের উদ্দেশ্য করে কাঠিন্যের মাত্রা অনুসারে সমস্যা সমাধানের লক্ষ্যে চিন্তা করে উত্তর বলার জন্য প্রশ্নগুলো উপস্থাপন করবেন।
দ্বিতীয় স্তরঃ
জর্জ পোলিয়া’র গাণিতিক সমস্যা সমাধানের জন্য অনেক যুক্তিসম্মত কৌশল রয়েছে। আমাদের দেশে গণিত ক্লাসে সচরাচর নিম্নের কৌশলগুলোও অনুসরণ অবহেলিত হয়। এ কৌশলসমূহের আংশিক তালিকা নিম্নে বর্ণনা করা হলোঃ
১) অনুমান করুন ও হিসাব মিলিয়ে দেখুন।
২) একটি ধারাবাহিক তালিকা প্রস্তুত করুন।
৩) সম্ভাবনাসমূহ নিয়ে বিবেচনা করুন।
৪) সরাসরি যুক্তি প্রয়োগ করুন।
৫) একটি সমাধানের সম্ভাব্য পথ বলে দিন।
৬) আরও ভাবনা করতে থাকুন।
৭) একটি চিত্র আঁকুন।
৮) একটি সহজতর সমস্যা সমাধান করুন।
৯) একটি মডেল তৈরি করুন।
১০) একটি সূত্র গঠন করুন।
১১) আপনার মস্তিস্ক খাটানো।
১২) ——
ততৃীয় স্তরঃ
এক্ষেত্রে পরিকল্পনা বাস্তবায়ন করা হয়। এ পর্যায়টি পরিকল্পনা অপেক্ষা একটু সহজতর। এখানে সাধারণত সকলের সচেতনতা ও ধৈয্য অত্যন্ত প্রয়োজন, যাতে প্রয়োজনীয় দক্ষতা অর্জন করতে পারা যায়। পরিকল্পনা মোতাবেক কাজ করে যান। বিখ্যাত গণিতবিদগণও এভাবে গাণিতিক সমস্যা সমাধান করে থাকেন। আমাদের দেশে গণিত ক্লাশে সচরাচর শিক্ষকের পরিকল্পনা মোতাবেক পরিকল্পনা বাস্তবায়ন করা হয়, অর্থাৎ শিক্ষকের প্রদত্ত নিয়ম বা পথ অবলম্বন করে সমস্যা সমাধান করতে হয় যেখানে শিক্ষার্থীর বিকল্প পর্যায় সমস্যা সমাধান করার উৎসাহিত করা হয় না এবং তাদের অংশগ্রহণ খুবই কম থাকে।
চতুর্থ স্তরঃ
এটি সবর্শেষ স্তর। এ পর্যায়ে সমাধান এবং সমাধান প্রক্রিয়াটি পর্যালোচনা করে দেখা বা কাজটি পেছন ফিরে দেখা। জর্জ পোলিয়া বলেন, অনেক সময় স্ব-অনুচিন্তন বা বিষয়টি নিয়ে গভীরভাবে নিজে নিজে চিন্তা করা এবং সমাধান প্রক্রিয়াটি পর্যালোচনা করে দেখা বা পেছন ফিরে দেখা অত্যন্ত জরুরি হয়ে ওঠে। এখানে কী কী করা হয়েছে এবং কী কী করা হয়নি, এগুলো প্রকৃতপক্ষে ভেবে দেখা হয়।
৫. পোলিয়া’র ৪ স্তর বিশিষ্ট মূলনীতির আলোকে একটি গানিতিক সমস্যা তৈরি করে স্তরগুলোর মধ্যে সমন্বয় সাধন করুন।
অথবা, জর্জ পোলিয়া’র ৪ স্তর বিশিষ্ট মূলনীতির আলোকে একটি গানিতিক সমস্যা হিসাবে ধরা যাক, একটি পিকনিকে ৩০৪ জন শিক্ষার্থী এবং তাদের সাথে ১৬ জন শিক্ষক আছেন। প্রত্যেক বাসে ৪৬ জন বসতে পারে। মোট কতটি বাস লাগবে?
অথবা, জর্জ পোলিয়া’র সমস্যা সমাধান তত্ত্বের আলোকে একটি গানিতিক সমস্যা তৈরি করুন। সমস্যাটির সমাধান প্রক্রিয়ায় এই মূলনীতির প্রয়োগ দেখান।
জর্জ পোলিয়া গাণিতিক সমস্যা সমাধানে চারটি স্তর নির্ধারণ করেছেন। এ চারটি স্তর হলো:
১. সমস্যা বুঝতে পারা (Understand the problem),
২. পরিকল্পনা প্রণয়ন করা (Devise a plan),
৩. পরিকল্পনা বাস্তবায়ন করা (Carry out the plan) ও
৪. সমস্যা সমাধান প্রক্রিয়াটি পর্যালোচনা করা (Look back on your work).
প্রথম স্তর: সমস্যা বুঝতে পারা। প্রথমত সমস্যাটি বুঝতে হবে। এতে কী চাওয়া হয়েছে তা বুঝে দেখতে হবে। বিভিন্ন শর্তের আলোকে সমস্যার ওপর মনের মাঝে একটি ছবি আঁকতে হবে।
দ্বিতীয় স্তর: সমস্যা সমাধানের জন্য একটি পরিকল্পনা প্রণয়ন করতে হবে। প্রদত্ত তথ্য বা উপাত্ত ও অজানা রাশির সম্পর্কস্থাপন করতে হবে।
ততৃীয় স্তর: পরিকল্পনা বাস্তবায়ন করা। প্রতি ধাপের মান নির্ধারণের জন্য চিন্তা করতে হবে ও পরিকল্পনা বাস্তবায়ন করতে হবে।
চতুর্থ স্তর: সমস্যা সমাধান প্রক্রিয়াটি পর্যালোচনা করা, সাদামাটা কথায় পেছন ফিরে দেখা। অর্থাৎ ফল পরীক্ষা করে দেখা।
প্রথমতঃ এখানে কি তথ্য দেয়া আছে এবং কি বের করতে হবে, তা বুঝার চেষ্টা করা।প্রসঙ্গত এখানে ৩০৪ জন শিক্ষার্থী এবং ১৬ জন শিক্ষক পিকনিকে যাবেন এবং প্রত্যেক বাসে ৪৬ জনের আসন আছে।এক্ষেত্রে কতটি বাস লাগবে, তা বের করতে হবে?
দ্বিতীয়তঃ পিকনিকে মোট কত জন যাবে তা বের করতে হবে। অতঃপর মোট কতজন যাবে তাকে ৪৬ দিয়ে ভাগ করতে হবে।এভাবে সমস্যাটি সমাধান করা যাবে।
তৃতীয়তঃ সমস্যাটি সমাধানের জন্য ৩০৪ জন ও ১৬ জন যোগ করে ৩২০ জন বের করতে হবে এবং ৪৬ জন দ্বারা ভাগ করলে মোট ৬.৯৫ অর্থাৎ ৭ টি বাসের সংখ্যা পাওয়া যায়।
চতুর্থতঃ প্রাপ্ত ফলাফল ৭ টি বাসের সাথে ৪৬ দ্বারা গুন করলে দেখা যায় যে মোট ৪৬×৭=৩২২ জন যেতে পারবে।অর্থাৎ ৭ টি বাসের দরকার পড়বে। এভাবে আমরা সমস্যা সমাধান পক্রিয়া যাচাই করে ফলাফলের শুদ্ধতা যাচাই করতে পারি।
সমাধান প্রক্রিয়া:
মোট শিক্ষার্থী = ৩০৪ জন
মোট শিক্ষক = ১৬ জন
মোট যাত্রী = ৩২০ জন
৪৬ জন বসতে পারে ১ টি বাসে
১ জন বসতে পারে ১/৪৬ টি বাসে
∴ ৩২০ জন বসতে পারে ১/৪৬ × ৩২০ টি বাসে
= ৬.৯৫৬ টি বাসে, অথবা ৭ টি বাস লাগবে।
বাড়ীর কাজঃ
৮ ডজন কলার দাম ১৫৩৬ টাকা। ৬ টি কলার দাম কত? জর্জ পোলিয়া’র ৪ স্তর অনুযায়ী সমস্যাটির সমাধান প্রক্রিয়া বর্ননা করুন। স্তর গুলোর মধ্যে সমন্বয় সাধন করুন।
