প্রাথমিক গণিত (পিকে); অধ্যায়-৪ নিউম্যান পদ্ধতি

অধ্যায়-০৪: সমস্যা সমাধান তত্ত্ব

পাঠ-৪.২: সমস্যা সমাধানে নিউম্যান পদ্ধতি

ক্লাসের আলোচ্য বিষয়:

১) গানিতিক সমস্যা সমাধানে অ্যান নিউম্যানের ৫টি ধাপের বর্ননা দিন।

২) দ্বিতীয় শ্রেনির একজন শিক্ষার্থী নিম্নরুপভাবে কয়েকটি যোগের সমস্যা সমাধান করলো- ক. ২৯+১২=৩১১

খ. ৭৫+২৯=৯১৪ গ. ৮৬+৫৮=১৩১৪ উল্লেখিত সমাধানে শিক্ষার্থী কী ভুল করেছে? কেন এই ভুল করেছে? এক্ষেত্রে আপনি কিভাবে শিক্ষার্থীকে শিখনে সহায়তা করবেন?

৩) দ্বিতীয় শ্রেনির একজন শিক্ষার্থী নিম্নোক্তভাবে সমাধান করলঃ ৮৮ ৮৮ ৭৮ +১৯ + ১৯ +২৩ –– –– –– ৭১৬ ৯১৭ ৯১১ উল্লেখিত সমাধানে কোন ধরনের ভুল আছে? এর সমাধানে কিভাবে শিক্ষার্থীদেরকে সহায়তা করবেন?

৪) ৭৮ +৪৬ –– ১১৪ ধরা যাক, দ্বিতীয় শ্রেনির একজন শিক্ষার্থী উপরোক্ত ভুলটি করেছে? আপনি শিক্ষার্থীকে কী নির্দেশনা দেবেন? অথবা, হাতে রেখে যোগ শিখানোর প্রক্রিয়া উদাহরণসহ লিখুন।

৫) দ্বিতীয় শ্রেনির একজন শিক্ষার্থী নিম্নোক্ত ভুলগুলো করেছেঃ ৭৭ ৮৬ +৪৫ + ৫৮ – –– –– ১১২ ১৩৪ শিক্ষার্থী কেন এই ভুল করেছেন লিখুন। ভুল সংশোধনে আপনি শিক্ষার্থীদের কি নির্দেশনা দিবেন?

৬) ধরা যাক, প্রথম শ্রেণির শিক্ষার্থী নিচের ভুলটি করেছে। ৩-৩=৩ আপনি কীভাবে এ উত্তরটি মুল্যায়ন করবেন?এবং শিক্ষার্থীকে আপনি কী নির্দেশনা দেবেন?

১) গানিতিক সমস্যা সমাধানে অ্যান নিউম্যানের ৫টি ধাপের বর্ননা দিন।

অস্ট্রেলীয় বিদূষী শিক্ষাবিদ অ্যান নিউম্যান (Anne New man) গাণিতিক সমস্যা সমাধানে কোথায় কোথায় শিক্ষার্থীরা ভুল করে থাকে, তা নির্ণয় করার জন্য পাঁচটি গুরত্বপূর্ণ এবং ত্বরিত সিদ্ধান্ত নেয়ার পরামর্শ প্রদান করেন। অ্যান নিউম্যান নিম্নোক্ত পাঁচটি ধাপ সম্পর্কে বলেছেন, যেগুলো অনসুরণ করে গাণিতিক সমস্যা সফলভাবে সমাধান করা যায়।

১) প্রশ্ন পড়া ( Reading or decoding):

 প্রশ্ন পড়ার সময় নিম্নলিখিত বিষয়গুলোর প্রতি নজর দিন। ক) যাচাই করুন, শিক্ষার্থীরা লিখিত প্রশ্নটি পড়তে পারে কি না। খ) একাধিকবার লিখিত প্রশ্নটি পড়তে দিন। গ)গুরুত্বপূর্ণ তথ্যগুলো বৃত্তায়িত বা দাগ দিতে বলুন। ঘ) যদি কোনো গাণিতিক সমস্যা বা প্রশ্নের শব্দের অর্থ না জানা থাকে তাহলে তা রেখে যাবেন অথবা এর প্রতিশব্দ বলতে দিন অথবা বলুন। ঙ) খেয়াল করতে হবে, প্রশ্নে কী বের করতে বলা হয়েছে। চ) লক্ষ্য রাখতে হবে, শ্রেণিকক্ষে সমস্যাটি পড়ার চেয়ে সমস্যা সমাধানে অধিক আগ্রহী এরূপ শিক্ষার্থী থাকতে পারে। ছ) এক্ষেত্রে দলীয় পঠন বিশেষ ভূমিকা পালন করে থাকে।

২) প্রশ্ন পড়ে সমস্যা বুঝতে পারা (Mathematical Word Problem):

ক) দেখুন , শিক্ষার্থীরা প্রশ্নটিতে যে যে শর্ত দেওয়া আছে এবং তাদের করণীয় কী তা বুঝতে পারে কি না। খ) সমস্যাটি সমাধান করতে হলে কী ধরনের প্রশ্ন করা যেতে পারে। গ) সমস্যাটি অনুধাবন করতে হলে পাঠকের (কগনিটিভ) ও (মেটাকগনিটিভ) কলাকৌশল অনুসরণ করা প্রয়োজন। এ কলাকৌশলগুলো মধ্যে নিবিড় সম্পর্ক রয়েছে। এ ০৬টি কলাকৌশল হলো ক) সম্পর্ক/ যোগসূত্র স্থাপন (Making connections), খ) অনুমান করা (Predicting), গ) প্রশ্ন করা (Questioning), ঘ) পরিবীক্ষণ করা (Monitoring), ঙ) চিত্র প্রদর্শন (Visualising), চ) সার-সংক্ষেপকরণ (Summarising)। উক্ত ৬টি কলাকৌশল প্রশ্ন বুঝার ক্ষেত্রে প্রয়োগ করা হলে শিক্ষার্থীরা দ্রুত সমস্যা সমাধান সম্পর্কে একটি পরিস্কার ধারণা পাবে।

৩) প্রশ্নকে গাণিতিক রূপ দেয়া (Transformation; selecting an appropriate strategy):

ক) যাচাই করুন, শিক্ষার্থীরা প্রশ্নে দেয়া তথ্যসমূহের ওপর ভিত্তি করে এটিকে গাণিতিক ভাষায় রূপান্তর করতে পারে কি না। খ) এরূপ ক্ষেত্রে একটি ডায়াগ্রাম বা চিত্র শব্দ সম্বলিত গাণিতিক শব্দ/সমস্যাকে গাণিতিক সমস্যা সমাধান প্রক্রিয়ায়Numerical Operation) নিয়ে যেতে সহায়তা করে। গ) এক্ষেত্রে মাইন্ডম্যাপ বা সংশ্লিষ্ট চার্ট গাণিতিক ভাষাকে বুঝতে সহায়তা করবে। ঘ) এক্ষেত্রে যে যে কৌশলগুলো ব্যবহার করা যেতে পারে, তা হলোঃ- – একটি প্রাসঙ্গিক চিত্র আঁকুন। – অনুমান করুন ও মিলিয়ে দেখুন। – সমস্যা সমাধানের পথে অগ্রসর হউন। – একটি গাণিতিক বাক্য লিখুন। – যদি কোনো প্যাটার্ণ খুঁজে পাওয়া যায় তা বের করুন। – যে পথে/ প্রক্রিয়ায় অগ্রসর হয়েছেন তা পূর্ব থেকে মিলিয়ে নিন।

৪) গাণিতিক প্রক্রিয়ার প্রয়োগ (Process skills):

গাণিতিক প্রক্রিয়া প্রয়োগের সময় নিম্নলিখিত বিষয়গুলোর প্রতি নজর দেওয়া প্রয়োজন। ক) যাচাই করুন, শিক্ষার্থীরা সঠিকভাবে গাণিতিক দক্ষতা ব্যবহার করে হিসাব-নিকাশ, উপস্থাপন ইত্যাদি করতে পারে কি না। খ) তুমি কীভাবে এ সমস্যাটি সমাধান করবে, বল। গ) এক্ষেত্রে শিক্ষার্থী ভুল উত্তর করতে পারে। অথবা শিক্ষার্থী পূর্ণ সমাধান প্রক্রিয়াটি সম্পন্ন না-ও করতে পারে।

৫. উত্তর লেখা (Encoding):

 এ পর্যায়ে নিম্নলিখিত বিষয়গুলোর প্রতি নজর দেওয়া দরকার। ক) দেখুন, শিক্ষার্থীরা সমস্যায় যা চাওয়া হয়েছে, সেটির পরিপ্রেক্ষিতে সঠিকভাবে উত্তর লিখতে পারে কি না। ২) অনেক সময় শিক্ষার্থী উত্তরে ‘একক’ লিখতে ভুল করে। ৩)গাণিতিক সমস্যায় যে সকল প্রশ্নের উত্তর বের করতে বলা হয়েছে তা বের করতে ভুলে যাওয়া। ৪) এক্ষেত্রে শিক্ষার্থীদের পুনরায় সমস্যাটি পড়ে প্রশ্ন অনুযায়ী কী কী উত্তর বের করা হয়েছে তথা প্রশ্নের সাথে উত্তরগুলো মিলিয়ে নিতে বলা যেতে পারে।

২) দ্বিতীয় শ্রেনির একজন শিক্ষার্থী নিম্নরুপভাবে কয়েকটি যোগের সমস্যা সমাধান করলো- ক. ২৯+১২=৩১১ খ. ৭৫+২৯=৯১৪ গ. ৮৬+৫৮=১৩১৪ উল্লেখিত সমাধানে শিক্ষার্থী কী ভুল করেছে? কেন এই ভুল করেছে?এক্ষেত্রে আপনি কিভাবে শিক্ষার্থীকে শিখনে সহায়তা করবেন?

১) যোগ করার ক্ষেত্রে শিক্ষার্থীর ভুল হয়েছে। ‘ক’ এর ক্ষেত্রে শিক্ষার্থী এককের ঘর যোগ করার পর হাতে থাকা ১ দশকের ঘরে যোগ না করে, যোগফল বসিয়ে দিয়েছে। ‘খ’ এর ক্ষেত্রে শিক্ষার্থীর একই ভুল করেছে। ‘গ’ এর ক্ষেত্রে শিক্ষার্থীর একই ভুল করেছে। ২) সুতরাং, আমি যখন এ ধরনের ভুল পাবো,তখন প্রথমেই দেখবো কী কারনে শিক্ষর্থী এইভাবে গননা করেছে। যদি শিক্ষার্থী এই ধরনের গননা বা হিসাব নিকাশের বিষয়টি ব্যাখ্যা করতে পারে তাহলে কোন প্রকার বিঘ্ন না ঘটিয়ে মনোযোগ ভাবে তার ব্যাখ্যা শুনবো। এরপর আমি সম্ভবত জানতে পারব যে শিক্ষার্থী তার গণনা বা হিসাব-নিকাশে ১০ বা ১ কোথায় বসবে তা বুঝতে পারে নি, যদি তাই হয়ে থাকে তাহলে উত্তম নির্দেশনা হলো যোগের প্রক্রিয়াটি নিম্নোক্ত ভাবে সম্পন্ন করা।

গ. ধাপঃ -১ ধাপঃ -২ ৮৬ ১ + ৫৮ ৮৬ —— + ৫৮ ১৪ —— ১৩০ ১৪৪ —— ১৪৪ ধাপ:১-এ, এককের ঘরে যোগ করি, ৮+৬=১৪, এবং নিচে ১৪ লিখি। এরপর ৮০+৫০=১৩০ যোগটি করি এবং নিচে ১৩০ লিখি। পরিশেষে ১৪ এবং ১৩০ যোগ করি। তাহলে সটিক উত্তরটি হবে ১৪৪। বারবার অনুশীলনের মাধ্যমে এ প্রক্রিয়াটির সাথে সুপরিচিত হওয়ার পর ধাপ ২ এ যেতে হবে, যেখানে শিক্ষার্থীরা ৬+৮=১৪ এর দশকের ১ দশকের ঘরে ৮ এর উপর লিখে হিসাব- নিকেশ করবে। এ ধাপগুলোর ক্রমে আমার যা করা উচিত হবে না তা হলো, ১) শিক্ষার্থীরা সঠিকভাবে ধাপ ১ এর যোগ না করা পর্যন্ত ধাপ ২ এ না যাওয়া।

২) অধৈর্য হয়ে শিক্ষার্থীকে “কেন বুঝতে পারছ না” বা “কেন আবার ভুল করছে?” ইত্যাদি বলা। বি. দ্রঃ- ক ও খ একই নিয়মে অনুসরণ করতে হবে।

৩) দ্বিতীয় শ্রেনির একজন শিক্ষার্থী নিম্নোক্তভাবে সমাধান করলঃ ক) ৮৮ খ) ৮৮ গ) ৭৮ +১৯ +১৯ +২৩ — –– –– ৭১৬ ৯১৭ ৯১১ উল্লেখিত সমাধানে কোন ধরনের ভুল আছে? এর সমাধানে কিভাবে শিক্ষার্থীদেরকে সহায়তা করবেন? লিখিত সমাধানে কোন ধরনের ভুল আছে? এর সমাধানে কিভাবে শিক্ষার্থীদেরকে সহায়তা করবেন?

সমাধানঃ যোগ করার ক্ষেত্রে শিক্ষার্থীর ভূল হয়েছে।  ক) এর ক্ষেত্রে শিক্ষার্থী (৮+৯) এ ভুল করেছে এবং পরবর্তীতে দশকের ঘরের সংখ্যা যোগ করতে ভুল করছে।

খ) এর ক্ষেত্রে শিক্ষার্থী এককের ঘরের সংখ্যা যোগ করার পর হাতে থাকা ১ দশকের ঘরের সঙ্গে যোগ না করে যোগফলে বসিয়ে দিয়েছে।

গ) এট ক্ষেত্রেও শিক্ষার্থী এককের ঘরের সংখ্যা যোগ করার পর হতে থাকা ১ দশকের ঘরের সঙ্গে যোগ না করে যোগফলে বসিয়ে দিয়েছে। সুতরাং আমি যখন এ ধরনের ভুল পাবাে তখন প্রথমেই দেখবাে কী কারণে শিক্ষার্থী এভাবে গণনা করেছে। যদি শিক্ষার্থী এ ধরনের গণনা বা হিসাব নিকাশের বিষয়টি ব্যাখ্যা করতে পারে তাহলে কোনরকম বিঘ্ন না ঘটিয়ে মনযোগ সহকারে তার ব্যাখ্যা শুনবো। এরপর আমি সম্ভবত জানতে পারবো যে শিক্ষার্থীটি তার গণনা বা হিসাব-নিকাশে ১০ বা ১ কোথায় বসাবে তা বুঝতে পারে নি, যদি তা-ই হয়ে থাকে তাহলে সবচেয়ে উত্তম নির্দেশনা হলো যোগের প্রক্রিয়াটিকে নিম্নোক্তভাবে সম্পন্ন করা ।

ক) ধাপঃ -১ ধাপঃ -২ ৮৮ ১ + ১৯ ৮৮ —— + ১৯ ১৭ —— ৯০ ১০৭ —— ১০৭ ধাপ ১ এ, এককের ঘরে যোগটি কৰি, ৮+ ৯ = ১৭, এবং নিচে ১৭ লিখি। এরপর ৮০+১০ = ৯০ যোগটি করি এবং ৯০ লিখি। পরিশেষে ১৭ এবং ৯০ যে করি তাহলে সঠিক উত্তরটি হবে ১০৭। বরাবর অনুশীলনের মাধ্যমে এ প্রক্রিয়াটির সাথে সুপরিচিত হওয়ার পর ধাপ ২ এ যেতে হবে, যেখানে শিক্ষার্থীরা ১৭ এবং এর “১”কে দশকের ৮ এর উপরে লিখে হিসাব-নিকাশ করবে। এ ধাপগুলোর ক্রমে আমার যা করা উচিৎ হবে না তা হলো:

ক. শিক্ষার্থীরা সঠিকভাবে ধাপ ১ এর যোগ না করা পর্যন্ত ধাপ ২ এ যাওয়া। খ. অধৈয্য হয়ে শিক্ষার্থীকে “কেন বুঝতে পারছে না?” বা “কেন আবার ভুল করছ?”ইত্যাদি বলা। বি.দ্রঃ- (খ) ও (গ) এর সমাধান একই নিয়ম অনুসরণ করে করতে হবে।

৪) ৭৮ +৪৬ –––– ১১৪ ধরা যাক, দ্বিতীয় শ্রেনির একজন শিক্ষার্থী উপরোক্ত ভুলটি করেছে? আপনি শিক্ষার্থীকে কী নির্দেশনা দেবেন? অথবা, হাতে রেখে যোগ শিখানোর প্রক্রিয়া উদাহরণসহ লিখুন।

সমাধানঃ- যোগ করার ক্ষেত্রে শিক্ষার্থী ভুল হয়েছে। শিক্ষার্থী এককের ঘরের সংখ্যা যোগ করার পর দশকের ঘরের হাতের নিতে ভুলে গেছে। সবচেয়ে উত্তম নির্দেশনা হলো যোগের প্রক্রিয়াটিকে নিম্নোক্ত ভাবে সম্পন্ন করা। ধাপঃ -১ ধাপঃ -২ ৭৮ ১ + ৪৬ ৭৮ —— + ৪৬ ১৪ —— ১১০ ১২৪ —— ১২৪ ধাপ ১ এ, এককের ঘরের যোগটি করি, ৮ + ৬ = ১৪, এবং নিচে ১৪ লিখি এরপর ৭০+৪০ = ১১০ যোগটি করি এবং নিচে ১১০ লিখি। পরিশেষে ১৪ এবং ১১০ যোগ করি তাহলে সঠিক উত্তরটি হবে ১২৪। বারবার অনুশীলনের মাধ্যমে এ প্রক্রিয়াটির সাথে সুপরিচিত হওয়ার পর ধাপ ২ এ যেতে হবে, যেখানে শিক্ষার্থী ১৪ এর “১”কে দশকের ৭ এর উপরে লিখে হিসাব-নিকাশ করবে। এ ধাপগুলোর ক্রমে আমার যা করা উচিত হবে না তা হলো:

১) শিক্ষার্থীরা সঠিকতাবে ধাপ ১ এর যোগ না করা পর্যন্ত ধাপ ২ এ না যাওয়া। ২) অধৈর্য হয়ে শিক্ষার্থীকে” কেন বু্তে পারছ না?” বা “কেন আবার ভুল করছ?” ইত্যাদি বলা।

৫) দ্বিতীয় শ্রেনির একজন শিক্ষার্থী নিম্নোক্ত ভুলগুলো করেছেঃ ক) ৭৭ খ) ৮৬ +৪৫ + ৫৮ –– –– ১১২ ১৩৪ শিক্ষার্থী কেন এই ভুল করেছেন লিখুন। ভুল সংশোধনে আপনি শিক্ষার্থীদের কি নির্দেশনা দিবেন?

সমাধানঃ ১) শিক্ষার্থীরা যোগ করার ক্ষেত্রে ভুল করেছে। (ক) ও (খ) উভয় সমস্যাটির ক্ষেত্রে শিক্ষার্থীরা দশকে ঘরে হরে ১ অর্থাৎ ১ দশক নিতে ভুলে গেছে। ২) ভুল সংশােধনে সবচেয়ে উত্তম নির্দেশনা হলো পুরো যোগের প্রক্রিয়াটিকে নিম্নোক্তভাবে সম্পন্ন করা।

ধাপঃ -১ ধাপঃ -২ ৭৭ ১ + ৪৫ ৭৭ —— + ৪৫ ১২ ——— ১১০ ১২২ —— ১২২ ধাপ ১ এ, এককের ঘরে যোগটি করি, ৭ + ৫ = ১২, এবং নিচে ১২ লিখি। এরপর ৭০ + ৪০ = ১১০ যোগ করিএবং নিচে ১১০ লিখি। পরিশেষে ১২ এবং ১১০ যোগ করি। তাহলে সঠিক উত্তরটি হবে ১২২।

বারবার অনুশীলনের মাধ্যমে এ প্রক্রিয়াটির সাথে সুপরিচিত হওয়ার পর ধাপ ২ এ যেতে হবে, যেখানে শিক্ষার্থীয়া ১৪ এর “১” কে দশকের ৭ এর উপরে লিখে হিসাব-নিকাশ করবে।

এ ধাপগুলোর ক্রমে আমার যা করা উচিৎ হবে তা হলঃ- ১) শিক্ষার্থীরা সঠিকভাবে ধাপ ১ এর যোগ না করা পর্যন্ত ধাপ ২ এ না যাওয়া। ২) অধৈর্য হয়ে শিক্ষার্থীকে “কেন বুঝতে পারছ না?” বা “কেন আবার ভুল করছ?” ইত্যাদি বলা। বি.দ্রঃ- (খ) এর ক্ষেত্রে (ক) এর পদ্ধতি অনুসরণ করতে হবে।

৬) ধরা যাক, প্রথম শ্রেণির শিক্ষার্থী নিচের ভুলটি করেছে। ৩-৩=৩ আপনি কীভাবে এ উত্তরটি মুল্যায়ন করবেন?এবং শিক্ষার্থীকে আপনি কী নির্দেশনা দেবেন?

সমাধানঃ- প্রথম শ্রেণির শিক্ষার্থীরা নিজের ধারণা প্রকাশ করতে প্রায়শই অসুবিধার সম্মুখীন হয়। তাই শিক্ষককেই চিন্তা করতে হবে কীভাবে এটির প্রক্রিয়া শিক্ষার্থী বুঝতে পারে। যে সব ছাত্র-ছাত্রী এ ধরনের ভুল করে তারা প্রায়শই একই ভুল করে থাকে।প্রথমত, আমাকে দেখতে হবে শিক্ষার্থীটি একই ধরনের ভুল অন্য সংখ্যার বিয়োগের ক্ষেত্রেও করে কি না, যেমনঃ ৫-৫ = ৫, ৭ – ৭ =৭ এক্ষেত্রে আমি শিক্ষার্থীটিকে ৩টি মার্বেল বা কাঠি দিয়ে ৩ – ৩ কত হয় তা দেখাতে বলতে পারি। সে হয়তো টেবিলে মার্বলগুলো রেখে এগুলোকে সরিয়ে দিয়ে ৩ – ৩ কত হয় তা দেখাতে পারে। এরপরও শিক্ষার্থীটি উত্তর ৩ বলতে পারে, যেহে মার্বলগুলো তার হতেই রয়ে গেছে বা এ পৃথিবীতেই আছে। এ উত্তরটি অবশাই গাণিতিক দৃষ্টিকোণ থেকে ভুল, কিন্তু তার জন্য যথেষ্ট যুক্তিসম্পন্ন। এ শিক্ষার্থীটির জন্য “কোন সংখ্যাটি থেকে কোন সংখ্যা বিয়োগ করতে হবে” এবং “কোন সংখ্যাটি বিয়োগ করতে হবে” এ দুটির মধ্যে পার্থক্য সম্পর্কে সচেতন করাই হবে সবচেয়ে জরুরি এবং এতদসংক্রান্ত যথাযথ নির্দেশনা প্রদান করা। একটি কার্যকর উপায় হলো, একটি বাক্সে ৩টি মার্বেল রাখি এবং আবার সবকটি মার্বেল উঠিয়ে নেই এবং জিজ্ঞেস করি যে বাক্সে আর কয়টি মার্বেল রয়েছে? এ অনুশীলনটি বারবার করালে শিক্ষার্থীর পূর্বেকার ধারণা ধীরে ধীরে পরিবর্তিত হবে।

বাড়ির কাজঃ- ১) শিক্ষক হিসেবে প্রাথমিক স্তরে গানিতিক সমস্যা সমাধানে অ্যান নিউম্যানের পাঁচটি ধাপের উপযোগিতা বিশ্লষণ করুন।